LINGKARAN SATUAN

Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri selain sudut-sudut istimewa, selain dengan menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator dapat pula menggunakan lingkaran satuan.

Caranya?

Bisa kita simak dari video berikut.

courtesy of YouTube.

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Grafik fungsi trigonometri adalah penyajian fungsi trigonometri ke dalam bentuk diagram Cartesius. 

Persamaan dan perbedaan antara grafik fungsi sinus, grafik fungsi kosinus dan grafik fungsi tangen.

1. Persamaan grafik fungsi sinus, cosinus, dan tangen adalah ketiganya merupakan fungsi berkala atau fungsi periodik yang berulang untuk periode tertentu.
2. Perbedaan grafik fungsi sinus, cosinus, dan tangen adalah sebagai berikut:

b.  Menggunakan software geogebra

Dengan menggunakan software, kita dapat secara langsung menerangkan dan menunjukkan perubahan-perubahan yang terjadi pada grafik fungsi trigonometri bentuk baku bila dimodifikasi. 

Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat dari video pengembangan dari screen cast o matic yang sudah saya buat sebagai berikut:

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri dengan variabel sudut x (dalam ukuran derajat atau radian).

Beberapa hal yang harus diperhatikan dalam mengerjakan suatu persamaan trigonometri adalah nilai x pada suatu persamaan trigonometri akan berulang berdasarkan periode dari fungsinya, baik sinus, cosinus, maupun tangen. Sehingga, setiap mencari penyelesaian dari persamaan trigonometri, untuk persamaan sinus dan kosinus harus dikalikan dengan k.360^o dan untuk persamaan tangen dikalikan dengan k.180 ^o karena fungsi sinus, kosinus dan tangen merupakan fungsi periodik yang akan terus berulang pada suatu periode tertentu, yaitu 360^o untuk fungsi sinus dan fungsi kosinus dan 180^o untuk fungsi tangen.

Pernahkah kamu melihat persamaan seperti persamaan berikut: 

   

 

  

Persamaan tersebut dinamakan dengan persamaan trigonometri karena memuat fungsi trigonometri. 

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut? 

Sebelum mempelajarinya, mari kita ingat kembali tentang grafik fungsi trigonometri dan sudut-sudut berelasi. Grafik fungsi sinus dan kosinus berulang setiap 360^o, sedangkan grafik fungsi tangen berulang setiap 180^o. Selain itu, kita juga telah mempelajari tentang sudut berelasi di kuadran I, kuadran II, kuadran III maupun kuadran IV. Dengan berbekal konsep grafik fungsi trigonometri dan sudut berelasi, kita akan dapat menyelesaikan suatu persamaan trigonometri. Mari kita lanjutkan dengan mempelajari persamaan trigonometri berikut. 

Contoh: 

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah suatu bentuk trigonometri yang dinyatakan dalam bentuk trigonometri yang lain. Identitas trigonometri dasar merupakan hubungan kebalikan, perbandingan dan teorema Phytagoras.

1. Identitas Trigonometri dasar yang merupakan hubungan kebalikan

  

 

 

2. Identitas Trigonometri dasar yang merupakan hubungan perbandingan

  

  

3. Identitas Trigonometri dasar yang diperoleh dari teorema Phytagoras

 

 

  

Beberapa hal yang harus diperhatikan ketika membuktikan suatu identitas trigonometri, yaitu:

1. Setelah mengetahui kedelapan identitas trigonometri dasar di atas, selanjutnya kita akan menggunakan identitas-identitas tersebut, bersama dengan pengetahuan kita mengenai aljabar, untuk membuktikan identitas-identitas lainnya.
2. Ingat bahwa identitas trigonometri merupakan pernyataan yang memuat kesamaan dua bentuk untuk setiap penggantian variabelnya dengan nilai di mana bentuk tersebut didefinisikan. Untuk membuktikan identitas trigonometri, kita gunakan substitusi trigonometri dan manipulasi aljabar dengan tujuan mengubah bentuk pada ruas kiri identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kanan, atau sebaliknya.
3. Satu hal yang harus diperhatikan dalam membuktikan identitas trigonometri adalah kita harus bekerja pada masing-masing ruas secara terpisah. Kita tidak boleh menggunakan sifat-sifat aljabar yang melibatkan kedua ruas identitas—seperti sifat penjumlahan kedua ruas persamaan. Karena, untuk melakukan hal tersebut, kita harus menganggap bahwa kedua ruas sudah sama, yang merupakan suatu hal yang akan kita buktikan. Intinya, kita tidak boleh memperlakukan masalah sebagai suatu persamaan.

Cara menyusun langkah pembuktian sebuah identitas trigonometri dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri adalah:

1. Biasanya akan lebih mudah jika memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.
2. Carilah bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
3.  Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.
4. Jika tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.
5. Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak dimanipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.

Contoh:

KOORDINAT KUTUB/ POLAR DAN KOORDINAT CARTESIUS

Contoh:

NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI BERBAGAI KUADRAN

1. Pembagian sudut dalam trigonometri

2. Sudut-sudut Berelasi
Pada awal subbab ini, akan dikaji nilai sinus, cosinus, tangen dan kebalikannya untuk domain sudut dalam satuan derajat atau radian. Selain itu, nilai semua perbandingan tersebut juga akan kita pelajari pada setiap kuadran dalam koordinat Kartesius. Mari kita pahami melalui pembahasan berikut ini.

Misalkan titik A (x, y), panjang OA = r dan sudut AOX = α. Mari kita perhatikan gambar di atas, dari segitiga siku-siku yang terdapat di kuadran I, berlaku :

Dengan mempertimbangkan semua kombinasi koordinat titik pada koordinat Kartesius, kita dapat telusuri perbedaan tanda untuk ketiga perbandingan trigonometri yang utama.

Garis putus-putus pada gambar menyatakan projeksi OA ke setiap sumbu, misalnya pada Gambar 8.15(a), garis putus-putus adalah proyeksi sumbu Y di kuadran II. Sedangkan garis putus-putus melengkung menyatakan besar sudut yang besarnya sama, misalnya, pada Gambar 8.15 (b), garis putus-putus melengkung menyatakan dua sudut yang besarnya sama.
Hubungan dari nilai perbandingan sudut-sudut berelasi pada setiap kuadran ditunjukkan sebagai berikut:

NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

Sudut-sudut istimewa adalah sudut yang besarnya 30⁰, 45 ⁰, 60⁰ , dan kelipatannya. Nilai-nilai perbandingan Trigonometrinya dapat ditentukan tanpa harus menggunakan alat bantu kalkulator atau tabel, tapi dapat ditentukan dengan bantuan segitiga siku-siku tertentu yang membentuk sudut tersebut. Segitiga-segitiga siku-siku tersebut sebagai berikut:

Perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: